欧拉公式

2026年3月10日

函数性质的角度:

指数函数是导数/增长率就是自身, 或者速度等于位置: $y’=y \space \iff \space y=e^x$

照这个思路扩展一下:

增长率的增长率是自身呢? 还是指数函数, 因为增长率被限制在了自身, 也不会更快了.

增长率与自身相反呢? 负指数函数.

增长率的增长率与自身相反呢? 竟然是三角函数! $y’’=-y \space \iff \space y=A\cos x+B\sin x$

加速度与位置相反, 也就是反复震荡的简谐振动. 三角函数就是简谐振动在时间上的振幅. 另一个角度,三角函数和简谐振动都是圆周上匀速运动的投影. 三者可以互相转换.

从简谐运动到圆:
时间 t 时的简谐振动位于 y 速度 v, 二者的变化关系是: $\dot y=v,\space \dot v=-y$.
即, $t+\Delta t$ 时: 速度是 $v-y\Delta t$, 位置是 $y+v\Delta t$,
即 $(y,v)$ 的变化量是 $(v,-y)$, 在 $(y,v)$ 的空间里, 这是一个永远垂直的变化量, 最终会成为一个圆周.
从圆到三角函数(圆可以是离原点距离不变的路径, 也可以是垂直于原点方向移动,效果是一样的):
时间 t 的原点为圆心半径 R 的逆时针圆周运动位于第一象限 $(x,y)$, 与 x 轴弧度 $\theta$ (i.e. $x=R\cos\theta, y=R\sin\theta$), 速度 v,
$\Delta t$ 时间后, 走过弧长 $v\Delta t$, 对应弧度变化 $\Delta\theta=\frac{v\Delta t}{R}$, 看成直线, 则新位置是 $(x-\frac{yv\Delta t}{R}, y+\frac{xv\Delta t}{R})$, 显然新位置与圆心的距离 $x^2+y^2+{\Delta t}^2$ 的增量是个二阶小量.
单看 x y 的变化 $\Delta y=\frac{xv{\Delta t}}{R}$, $\Delta x=-\frac{yv{\Delta t}}{R}$, 即 $\frac{\Delta y}{\Delta \theta}=x,\space \frac{\Delta x}{\Delta \theta}=-y$
解微分方程这就是 $x(\theta)=\cos(\theta), y(\theta)=\sin(\theta)$

$\pi$, 单位圆的半周长, 逐渐转向直到反向的时间, 是描述旋转的量, 简谐运动从速度 v 到 -v 再回到 v 也可以理解为一次旋转, 直观上两者就是连着的.

负数表示正数的反方向, 直观上, 负号 - 表示在数轴上转向. 从群的角度, 负表示加法逆. 想要加法可逆就需要有取反方向的操作, 用乘 -1 表示. 再要求乘法可逆就要从整数扩展到有理数. 所以至少有理数才能成域. 有了乘法就有平方和开方, 开方要想封闭就只能扩域了, 对正数的开平方还在数轴上, 对负数的开方数轴上就表示不了了.

只在数轴上看, 反向是个原子操作, 不能用两个同样的操作合并而成. 但抛开数轴, 只需要二维空间就能描述一个操作重复做最终反向, 就是逐渐转向. 定义 $i^2=-1$, 乘 i 表示逆时针旋转 90 度. 旋转这件事本来是用 pi 描述的, pi 和 i 在这里联系起来了.

复数的操作: 乘实数表示重复一个操作(或逆操作), 实数乘实数就是重复向前(或后); 乘 i 表示 90 度旋转, 乘 bi 表示先乘 b 再乘 i; 加实数就是向前, 加 bi 表示 90 度旋转"向前 b"这个操作(也就是向上 b); 乘复数以此类推 (https://betterexplained.com/articles/understanding-why-complex-multiplication-works/)

复数的乘方就是邻接的相似三角形. 模长是 1 的复数乘方就是同样的三角形. 从 $1+xi$ 开始乘方,直到走半圈, 模长就像是复利, 最终会变成 $(1+x/n)^n$, e 出现了.

反向来看 $\cos x+i\sin x$ 就是 1 旋转了 x 弧度, 如何旋转 x 弧度呢? 可以每次旋转一点点乘 $(1+ix/n)$, 旋转 n 次刚好等于 x, n 变大时三角形边长增加会更快变小, 所以极限就是 e, 边长不变, 就是乘 $e^{ix}$

另一个思路: i 表示旋转 $\pi/2$, 那么 $i^2$ 表示旋转 pi 到了 -1, $\sqrt{i}$ 表示旋转 $\pi/4$, 就是说 $i^{x}$ 表示旋转 $\frac{\pi}{2}x$, 设 $R(x)=i^{x}$, 显然 $R(x)*R(y)=R(x+y)$, 在 y=0 处对 y 求导可得: $R’(x)=R(x)*R’(0)$ 另一方面, $R’(0)$ 就是 1 的旋转, 就是垂直的 i,所以解微分方程得到 $R(x)=e^{ix}$.

原来这么多角度都能解释欧拉公式. e i pi 从定义上是互相联系的.

特殊形式:

$$e^{i\pi}+1=0$$

通用形式:

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

其实也不用这么麻烦, 用泰勒展开可以构造性证明:

$$ \begin{aligned} e^x &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, \ \cos x &= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots, \ \sin x &= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots. \end{aligned} $$