欧拉公式

Tue, 10 Mar 2026 15:25:28 +0800

函数性质的角度:

指数函数是导数/增长率就是自身, 或者速度等于位置: $y’=y \space \iff \space y=e^x$

照这个思路扩展一下:

增长率的增长率是自身呢? 还是指数函数, 因为增长率被限制在了自身, 也不会更快了.

增长率与自身相反呢? 负指数函数.

增长率的增长率与自身相反呢? 竟然是三角函数! $y’’=-y \space \iff \space y=A\cos x+B\sin x$

加速度与位置相反, 也就是反复震荡的简谐振动. 三角函数就是简谐振动在时间上的振幅. 另一个角度,三角函数和简谐振动都是圆周上匀速运动的投影. 三者可以互相转换.

从简谐运动到圆:

时间 t 时的简谐振动位于 y 速度 v, 二者的变化关系是: $\dot y=v,\space \dot v=-y$.

即, $t+\Delta t$ 时: 速度是 $v-y\Delta t$, 位置是 $y+v\Delta t$,

即 $(y,v)$ 的变化量是 $(v,-y)$, 在 $(y,v)$ 的空间里, 这是一个永远垂直的变化量, 最终会成为一个圆周.
从圆到三角函数(圆可以是离原点距离不变的路径, 也可以是垂直于原点方向移动,效果是一样的):

时间 t 的原点为圆心半径 R 的逆时针圆周运动位于第一象限 $(x,y)$, 与 x 轴弧度 $\theta$ (i.e. $x=R\cos\theta, y=R\sin\theta$), 速度 v,

指数对数

Fri, 05 Dec 2025 00:00:00 +0800

对于原本是用相乘结合的概念, 比如独立事件的概率, 每个阶段的状态总数(热力学熵), 串联的增益(分贝)等, 如果要设计一个新指标, 用来表示这个概念的某个性质, 但是是相加的关系,这个新指标就只能选择对数形式, 因为只有对数满足本来相乘的东西相加起来继续可以相乘.

数学语言的话, 满足 $\phi(xy)=\phi(x)+\phi(y)$ 的泛函只有 $\phi(x)=c\ln x$. 证明很简单: 固定 x 对 y 求导得 $x\phi’(xy)=\phi’(y)$, 令 y=1 有 $x\phi’(x)=\phi’(1)$ 即 $\phi’(x) = \frac{c}{x}$ . 反过来类似, 满足 $\psi(s+t)=\psi(s)\psi(t)$的只有 $\psi(t)=e^{ct}$ .

再抽象一点, 指数是加法群到乘法群的唯一连续同态. 这个特点表现为导数是自身或者连续增长的极限 . 写出来就是: $$f(x+y)=f(x)f(y)$$

$$\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=f(x)\frac{f(y)-1}{y}$$ 当 y 趋近于 0 时, $$f’(x)=f(x)f’(0)$$ 当 x=y=t/n 时, $$f(\frac{t}{n}+ \frac{t}{n}+ …) = f(\frac{t}{n})f(\frac{t}{n})*…$$ n很大时 $f(\frac{t}{n})= f(0)+f’(0)\frac{t}{n}=1+f’(0)\frac{t}{n}$, 即 $$f(t)=(1+f’(0)\frac{t}{n})^n$$ so, 从乘法到加法, 导数是自身, 增长的极限三个情况其实是一件事, 都只有指数是唯一解.

概率和信息量

最典型的例子概率和信息量, 一个概率是 p 的事件的信息量只能是p 的对数如果满足: 两件(独立)事的信息量之和显然是相加的, 或者说通过不同流程获取一件事最终得到的信息量应该是一样的, 即信息量与观察的方式无关. 对于事件 $A\subseteq B\subseteq C$, 已知 C, 直接从 C 到 A的信息量与先从 C 到 B, 再从 B 到 A 的信息量之和应当一样, 即, $I(A\mid C)=I(B\mid C)+I(A\mid B)$ , 又有 $P(A\mid C)=P(B\mid C),P(A\mid B)$ 所以I和 P 的关系就是泛函$I=\phi(P)$ 满足 $\phi(xy)=\phi(x)+\phi(y)$ , 要素出现, 也就只能是对数. 一般用$-\log p$ 更符合直觉.

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